Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий Преподаватель: Москва 2004. Введение Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t T R , называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие единственный вектор r ( t ), то r ( t ) называют вектор-функцией скалярного аргумента.

Вектор r ( t ) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм. Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i , j , k . Тогда представление r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k является разложением радиус-вектора r ( t ) в этом базисе, причем x ( t ), y ( t ), z ( t ) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областью определения T R , называемые координатными функциями вектор-функции r ( t ). Понятие кривой Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r ( t ), которую будем считать непрерывной на отрезке [ a , b ] . Пусть в трёхмерном пространстве R 3 задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ртонормированным базисом { i , j , k }. Определение 2. Множество Г R 3 точек, заданных радиус-векторм r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k , t [ a , b ] соответствующим непрерывной на отрезке [ a , b ] вектор-функции r ( t ) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой. При фиксированном значении t = t 0 [ a , b ] параметра значения x ( t 0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 ) являются координатами точки кривой.

Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление Г = {r R 3 : r = r(t), t [a, b] }, Г = {(x; y; z) R 3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [a, b] } Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r ( t ), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t . Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F 1 ( x , y , z ) = 0, F 2 ( x , y , z ) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать Г = {( x ; y ; z ) R 3 : x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ), t [ c , d ] }. Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t . Такие точки кривой называют её кратными точками.

Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r ( a ) и r ( b ) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой.

Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t ( a , b ) называют простым замкнутым контуром.

Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской. Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy , то координатное представление плоской кривой Г имеет вид: Г = {(x; y; z) R 3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [a, b] }. причём равенство z =0 обычно опускают и пишут Г = {(x; y) R 2 : x = x(t), y = y(t), t [a, b] }. . График непрерывной на отрезке [ c , d ] функции f ( x ) является плоской кривой с координатным представлением Г = {( x ; y ) R 2 : x = x , y = f ( x ), x [ c , d ] }. В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j или r ( x ) = xi + f ( x ) j соответсвенно.

Кривизна плоской кривой. Длина дуги иеё производная. В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал. Пусть дуга кривой M 0 M (рис. 1) есть график функции y = f ( x ), определённой на интервале ( a , b ). Определим длину дуги кривой. Возьмём на кривой АВ точки M 0 , M 1 , M 2 , … , M i-1 , M i …, M n -1, M . Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M 0 M 1 M 2 … M i -1 M i … M n -1 M , вписанную в дугу M 0 M . Обозначим длину этой ломаной линии через P n . Длиной дуги M 0 M называется предел (обозначим его через s ), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной M i -1 M i , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M 0 M 1 M 2 … M i-1 M i …M n-1 M . Найдём выражение дифференциала дуги. Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y = f ( x ). Пусть M 0 ( x 0 , y 0 )- некотрая фиксированная точка кривой.

Обозначим через s длину дуги M 0 M (рис.3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x . Найдём производную s по x . Дадим x приращение D x . Тогда дуга s получит приращение D s = дл. MM 1 . Пусть - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти поступим следующим образом: Из D MM 1 Q находим D x ) 2 +( D y ) 2 . Умножим и разделим левую часть на D s 2 : Разделим все члены равенства на D x 2 : Найдём предел левой и правой частей при D x ® 0. Учитывая, что и получим Для дифференциала дуги получим следующее выражение: или Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y = f ( x ). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически: и выражение принимает вид: Кривизна Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y = f ( x ), а именно её направление.

Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке.

Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через a угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4). Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4. Средней кривизной К ср дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги: Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А 1 В 1 , хотя длины этих дуг равны между собой. Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5. Кривизной К а линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю: Вычисление кривизны Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M ( x , y ). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y = f ( x ) и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках M и M 1 с абсциссами x и x + D x и обозначим через j и j + D j углы наклона этих касательных (рис.7). Длину дуги M 0 M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M 0 , обозначим через s ; тогда D s = M 0 M 1 - M 0 M , а ½ D s ½ = MM 1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге MM 1 равен абсолютной величине разности углов j и j + D j , то есть равен ½ D j ½ . Согласно определению средней кривизны кривой на участке MM 1 имеем Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги MM 1 стремится к нулю: Так как величины j и s зависят от x , то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s . Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x . Тогда Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: Чтобы выразить производную через функцию y = f ( x ), заметим, что и, следовательно Дифференцируя по x последнее равенство, получаем . И так как и окончательно, так как Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрически: x = j ( t ), y = y ( t ). Тогда Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем . Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах. Пусть кривая задана уравнением вида r = f ( q ). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q , y = r sin q . Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q , то есть f ( q ), то получим x = f( q ) cos q , y = f( q ) sin q Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q . Тогда , , Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах: Радиус и круг кривизны Определение 7. Величина R , обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/ K , или Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М. Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой.

Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны. Пусть кривая задана уравнением y = f ( x ). Зафиксируем на кривой точку M ( x , y ) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М: Так как точка C ( a , b ) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению Далее, точка C ( a , b ) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R : Решив совместно уравнения * определим a , b : и так как то Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y !! >0 и y !! y !! >0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b > y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки.

Учитывая, что в этом случае ½ y !! ½ = y !! , формулы координат центра запишем в следующем виде: (1) Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y !! Параметрическое задание кривой Если кривая задана параметрически: x = j ( t ), y = y ( t ), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в них вместо y ! и y !! их выражения через параметр: Тогда (2) Эволюта и эвольвента Если в точке M 1 ( x , y ) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C 1 ( a , b ) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой. По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L 1 , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой. Если данная кривая определяется уравнением y = f ( x ) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x . Исключая из этих уравнений параметр x , получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты a и b . Если же кривая задана параметрически x = j ( t ), y = y ( t ), то уравнеия (2) дают параметрические уравнеия эволюты.

Свойства эволюты Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.

Доказательство.

Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен В силу уравнений (1) (4) Получаем соотношение Но y ! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M 1 M 2 кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Доказательство. Так как где ds - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим (4) Так как , то . Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований Деля обе части равенства на , получим Возведём в квадрат полученное равенство: (5), и сравнивая равенства (4), (5) находим , откуда По условию не меняет знак ( R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости Следовательно, Пусть точка M 1 имеет абсциссу x 1 , а M 2 – абсциссу x 2 . Применим теорему Коши к функциям s ( x ) и R ( x ) на отрезке [ x 1, x 2 ]: Где x - число, заключённое между x 1 и x 2 . Введём обозначения ( рис . ): S(x 2 ) = s 2 , s(x 1 )= s 1 , R(x 2 )=R 2 , R(x 1 )=R 1 Тогда Но это значит, что Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично. Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте. 1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты.

Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L , то огибающая их линия и будет эволютой L ! (рис.11 ). 2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L ! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L . Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L ! ; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L ! . Отсюда следует, что данная эволюта L ! имеет бесконечное число эвольвент L . В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту. следует, что данная эволюта L ! имеет бесконечное число эвольвент L . В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту. В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике. В технике эвольвенту окружности применяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O 1 и O 2 (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К. Тогда в точке К нормали КМ 1 и КМ 2 к эвольвентам Э 1 и Э 2 будут лежать на отрезке М 1 М 2 общей касательной к окружностям радиусов R 1 и R 2 соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М 1 М 2 (новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления.

Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникает зацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещается вдоль отрезка М 1 М 2 . Если угловая скорость w 2 ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость w 2 R 2 движения точки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость w 1 = w 2 R 2 / R 1 ведомого колеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса и постоянство передаточного отношения w 1 / w 2 = R 2 / R 1 зубчатой передачи. Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O 1 O 2 , вызванные неизбежными погрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти в зацепление.

Эвольвентное зацепление предложено математиком Л. Эилером.